定积分运算公式(积分运算法则)

牛顿353、不定积分的定义

积分（百度百科）：积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

…积：见《牛顿19》…

…分：见《牛顿3》…

…数、学、数学，分、析、分析，数学分析：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…定：见《欧几里得2》…

…定积分：见《牛顿337~352》…

…不：见《欧几里得40》…

不定积分（百度百科）：一个函数f的不定积分（或原函数，或反导数），是一个导数等于f的函数F，即F’=f。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

2018-11-18，网友“天天做作业双子”上传名为《不定积分的几何意义》的文档。

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

文档内容：

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

引言

积分学分为不定积分与定积分两部分。

不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

…无、限、无限：见《牛顿202》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法。

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

本章主要内容：

第一节 原函数与不定积分

第一节 原函数与不定积分

1 不定积分的概念

2 不定积分的基本公式和运算法则

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

1 不定积分的概念

在小学和中学我们学过逆运算：

如：加法的逆运算为减法

乘法的逆运算为除法

指数的逆运算为对数

…指、数、指数：见《欧几里得114》…

…对、数、对数：见《牛顿133~135》…

微分法：F’（x）=（？）

积分法：（？）’=f（x）

——互逆运算

设已知F（x）

设已知f（x）

——反问题呢？

定义

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

若在某一区间上，F’（x）=f（x），则在这个区间上，函数F（x）叫做函数f（x）的一个原函数。

一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个，比如：（sin x）’=cos x

所以sin x是cos x的一个原函数，而sin x+C（C可以取任意多的常数）是cos x的无穷多个原函数。

一般的，若F’（x）=f（x），F（x）是f（x）的一个原函数，则等式

[F（x）+C]’=F’（x）=f（x）成立（其中C为任意常数），从而一簇曲线方程F（x）+C是f（x）无穷多个原函数。

如果一个函数f（x）在一个区间有一个原函数F（x），那么f（x）就有无穷多个原函数存在，无穷多个原函数是否都有一致的表达式F（x）+C呢？

定理

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的所有原函数都可以表示成F（x）+C（C为任意常数）。

思考：如何证明？

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

定义

若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的所有原函数F（x）+C称为f（x）的不定积分（indefinite integral），记为∫f（x）dx=F（x）+C

其中∫称为积分号，x称为积分变量，f（x）称为被积函数，C称为积分常数，f（x）dx称为被积表达式。

…indefinite：adj.无限期的；期限不定的；模糊不清的；不明确的…

…integral：adj.完整的；不可或缺的；必需的；作为组成部分的；完备的

n.积分；整体…

…∫：积分符号，为为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

…变、量、变量：见《欧几里得29》…

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

“由于函数f（x）的不定积分F（x）+C中含有任意常数C，因此对于每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f（x）的积分曲线。

因为C可以取任意值，因此不定积分表示f（x）的一簇（cù）积分曲线，即F（x）+C

请看下集《牛顿354、不定积分的几何意义》”

若不知晓历史，便看不清未来