什么是有理数和无理数的定义(根号3是有理数还是无理数)

最近2期我讲解了无理数相关知识，其中介绍了无理数是如何被人类发现的，以及无理数到底是不是数做了一次梳理。但是有个问题一直没解决，那就是“无理数”为啥叫“无理”？无理意思是没有道理吗？为啥无理数叫没有道理的数，今天我来谈谈这个问题。

首先还是回归到原始的社会中来，那个时候的原始人并不懂数学，所以对什么是数更是一脸蒙圈，但是为了生存的方便性，原始人不得不自己定义一些东西用于区别。比如上一期提到的计数问题，当一个原始人打猎一天后打了3只兔子，第二天又打了4只兔子，但是3和4还并未被发明出来，请问原始人如何区别第一天和第二天打猎的情况？

很简单用“一一对应”法就可以解决，详细操作流程就是，我们暂时命名第一天的兔子为：A1、A2、A3，第二天的兔子为：B1,、B2、B3、B4。那么原始人只需把第一天的兔子A1和第二天的兔子B1拿出来一一对应，然后把A2和B2拿出来对应，再把A3和B3拿出来对应，最后发现B4找不到对应的了，就证明第2天比第1天打的兔子多，于是原始人明白如何计数了。

这种方法虽然在现如今看来非常费力，但是你要考虑到当时的原始社会，文明几乎没发展，人的智力也处于低位，能够发明这种计数方式，已经比其它动物甩了几条街了。

从刚刚的例子就可以看出，其实我们最直观能理解的数只有整数，比如0，1，2，3等等。当然随着文明的发展，人们发现仅仅靠整数来计数也不是很方便。比如到了农耕社会时代，张三今天收入1串钱，我们计数为1，但是张三如果以前欠李四1串钱，我们如何表达？还是计数为1显然不合理了，所以此时如果发明负数，那么我就可以计数为：-1。

所以随着负数的发现，人类所拥有的数字就是正整数和负整数。到此为止，我们能够直观理解的数基本已经开发完毕。但是仅仅有了整数还不够，因为数是一个静态的东西，必须要有运算才行，所以人们发明了四种非常容易理解的运算：加、减、乘、除。我们终于可以用整数进行各种加减乘除了，愉快的运算。

事情发展到这里还没完，我们发明的整数虽然说用处很大，但是整数这是一个抽象的数学概念，能否看见整数了，于是我们发明了数轴。数轴这个东西太安逸了，我们发明的整数居然可以在数轴上都找到相应的位置来表达，这样一来抽象的数就可以用可视化的数轴上的位置来表示，这又是人类数学上的一个巨大的进步。

但是数轴上的点，我们的整数可以完全表达出来，不过我们很容易发现，数轴上两个整数其实中间是有间隔的，比如数轴上的1和2中间就间隔了一小段。既然数轴上能表示所有数，那么间隔的这一小段肯定也有其它数的存在，比如1和2最中间的这个点，其实就是1/2。发现没？分数可表示中间间隔的一小段的数。而且分数是如何组成的，不就是两个整数相除嘛。所以如果我们把整数定义成我们的基本单位，其实分数也是由基本单位构成。那么就带来一个非常重要的问题。

数轴上两个整数之间的间隔上的数，是否都可以用分数来表示？或者换一种说法，数轴上两个整数之间的间隔的数，是否可以由基本单位构成（注意这里的基本单位就是整数）。要回答这个问题有点难，不过我们凭借直觉可以得出两个结论：两个整数之间的间隔肯定有无限个数存在，因为一条线段理论上可以一直平分下去无休止。而我们又恰好发现，两个整数相除，也就是p/q这个组合，也能表示无限个数，因为整数本身就是无限个。

既然两个整数之间的间隔有无限个数存在，而p/q的形式也可以表示无限个数，我们很想当然的就认为p/q这种形式可以把数轴上的所有数都表达出来。这是很直观就能得出的结论，但是随着根号2被发现，人类居然找到了一些“奇葩”的数，这些数居然无法用p/q表达出来，这非常奇怪，很没有道理。难道p/q这种形式不能把数轴上的所有数都表达出来？还存在无法表达的数？

正是由于数轴上存在一些“奇葩”数，不能用p/q表达出来，也就是不能用整数表达出来，所以我们就把这种奇葩数认为是没有道理的数，也就是“无理数”。与之相对应的就是“有理数”，所以我们看一个数到底是否是有理数，就看这个数是否可以表达为p/q这种形式。也就是一个数只要能被整数组合表达出来，我们就说这个数是有理数。