内切圆半径万能公式推导(正五边形内切圆半径万能公式)

在上篇文章中，我介绍二倍角三角形作图原理以及《几何原本》中用尺规作圆的内接正五边形的方法，不过圆的内接正五边形的作图过程有些繁琐。这篇文章，我将向大家介绍一种更简单的尺规作圆的内接正五边形的方法。

由于作图（圆的内接正五边形）过程需要用到二倍角三角形的作图原理，这里我还是先向大家介绍二倍角三角形的原理。

1、二倍角三角形的原理：

证明:

1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷 命题11）（具体作图方法及原理，详见我的文章《《几何原本》-几何代数的基本原理（2）-命题1~命题14》中的命题11的证明过程）

2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE。

3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC。（第4卷 命题1）

4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD。（第4卷 命题5）

5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷 命题37）

6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC。（第3卷 命题32）

7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA+角DAC。

8、又因为外角BCD=角CDA+角DAC（第1卷 命题32），所以角BDA=角BCD。

9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD。（第1卷 命题5）

10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC。（第1卷 命题6）

11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷 命题5）

12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA+角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。

13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。

14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。

证明完毕。

2、圆的内接正五边形的快速作图方法：

有了二倍角三角形作图原理的铺垫，我们便能只使用尺规快速作出圆的内接正五边形，以下是作图的方法：

步骤1：任取一条线段OA，延长AO至a。

步骤2：以O为圆心，OA为半径作圆与Oa相交于b，此时Ob=OA。

步骤3：去除多余的辅助线，此时Ob=OA。

步骤4：以b为圆心，bA为半径作圆；以A为圆心，Ab为半径作圆。两圆相交于c、d，连接cd与bA相交于O点。

步骤5：去除多余的辅助线。

步骤6：以O为圆心，OA为半径作圆，交Od于e。分别以e、A为圆心，eO、AO为半径作圆，两圆交于f，连接ef、fA。

步骤7：去除多余的辅助线，此时AOef是正方形。

步骤8：以O为圆心，Oe为半径作圆；以e为圆心，eO为半径作圆，连接两圆交点所形成的直线与Oe相交于g点。

步骤9：去除多余的辅助线，此时AOef是正方形，g是Oe中点。

步骤10：延长eO至h，以g为圆心，gA为半径作圆，圆与eh相交于i。

步骤11：去除多余辅助线。

步骤12：以O为圆心，Oi为半径作圆，圆与OA相交于M。

步骤13：以O为圆心，OA为半径作圆；以A为圆心，OM长度为半径作圆，两圆相交于N。

步骤14：连接ON、MN、AN，此时角ONA=角A=2角AON，即角ONA=角A=72°，角AON=36°。

步骤15：去除多余辅助线，此时在三角形AON中，角A=角N=72°，角O=36°。

步骤16：以N为圆心，NA为半径作圆（浅蓝色）与圆（黑色）相交于B点，连接NB、OB、AB，此时角AOB=2角AON=72°

步骤17：分别以A、B为圆心，AB、BA为半径作圆（浅蓝色），与圆（黑色）相交于E、C，连接AE、BC、OC、OE。

步骤18：以E为圆心，EA为半径作圆（浅蓝色）与圆（黑色）相交于D，连接DE、DC、DO，去除多余辅助线。

步骤19：去除多余辅助线，此时AB=BC=CD=DE=EA，角AOB=角BOC=角COD=角DOE=角EOA=72°，ABCDE是正五边形。

步骤20：去除多余辅助线，此时ABCDE是圆的内接正五边形。